Homotopy

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Commutative Algebra and Algebraic Geometry

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*  Homotopy theory

Notions d'homotopie

Définition: Deux applications continues $f$ et $g$ d'un espace topologique $X$ vers un espace topologique $Y$ sont homotopes s'il existe une application $F:X\times [0,1]\to Y$ telle que $F(x,0)=f(x)$ et $F(x,1)=g(x)$. L'application $F$ est appelée homtopie de $f$ vers $g$. Cette relation d'homotopie se note $f\cong g$ ou $F:f\cong g$ pour expliciter l'homotopie de $f$ vers $g$.
Exemple: Soit $f:X\to S^2$ une application continue non surjective et $v_0\notin f(X)$, alors $f$ est homotope à l'application constant $v_0$. L'application $F:X\times [0,1]\to S^2$ définie par $F(x,t)=\dfrac{(1-t)f(x)-tv_0}{\|(1-t)f(x)-tv_0\|}$ est une équivalence d'homotopie.
Définition: Deux applications continues $f$ et $g$ d'un espace $X$ vers un espace $Y$ , égales sur une partie $A\subset X$, sont homotopes relativemnt à $A$, s'il existe une homotopie $F$ entre $f$ et $g$ telle que $F(a,t)=f(a)=g(a)$, pour tout $t\in [0,1]$ et tout $a\in A$. Cette rela tion d'homotopie se note $f\cong g$ rel $A$.
Proposition: Considérons deux espaces topologiques $X$ et $Y$, une partie $A$ de $X$, et une application $\psi:A\to Y$. L'homotopie relativement à $A$ est une relation d'équivalence sur l'ensemble des applications cotinues de $X$ vers $Y$, coincidant avce $\psi$ sur $A$. L'ensemble quotient est noté $[X,Y]$ si $A=\emptyset$.

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Mohamed AQALMOUN Professeur de l'enseignement supérieur ENS-Fès